还记得高中的恒定功率启动问题么？不是到各位看官有没有在高中的时候特别想推导出它的V-t图像的表达式。反正我在高中的时候特别想去推导这个关系式，但是耗费了无数个午休时间，从来没有推出来过。然而在上了大一学习了微分方程之后我完成了它的推导，并且将它发给了邱老师。今天清理手机的短信息突然看到了这段推导，想了想为了造福大众还是把它给写下来比较好。问题主要可以描述为下图这样（图中包含了高中阶段对曲线的近似）。

下面推导v-t表达式：

$$ a:加速度; f:摩擦力; P:功率; v:速度; t:时间; x:位移; $$

设函数 $$ v=y=f(t) $$

则：$$ a=y’=f’(t) $$

由：$$ a= \frac{\frac{P}{v}-f}{m} \rightarrow amv=P-fv $$

于是得到方程： $$ my’y=P-fy $$

以下步骤为微分方程求解:

$$ my\frac{dy}{dx}+fy=P $$ $$ mydy+fydx=Pdx $$ $$ mydy = (P-fy)dx $$ $$ \frac{my}{P-fy}dy=dx $$ $$ (-\frac{m}{f}+\frac{\frac{mP}{f}}{P-fy})dy=dx $$ $$ -\frac{m}{f}y+\frac{mP}{f}\int(P-fy)dy=x $$ $$ -\frac{m}{f}y-\frac{mP}{f^2}\int(P-fy)d(P-fy)=x $$ $$ -\frac{m}{f}y-\frac{mP}{f^2}ln(P-fy)=x $$

即有关系式： $$ C_0-\frac{m}{f}v-\frac{mP}{f^2}ln(P-fv)=t $$

由动能定理： $$ \frac{1}{2}mv^2=Pt-fx $$

得到：$$ x=\frac{Pt-\frac{1}{2}mv^2}{f}=\frac{-\frac{mP}{f}v-\frac{mP}{f^2}ln(P-fy)-\frac{1}{2}mv^2+\frac{mP}{f^2}ln(P)}{f} $$

$$ 其中v为瞬时速度; C_0=\frac{mP}{f^2}ln(P) （由v=0时x=0得到） $$