还记得高中的恒定功率启动问题么？不是到各位看官有没有在高中的时候特别想推导出它的V-t图像的表达式。反正我在高中的时候特别想去推导这个关系式，但是耗费了无数个午休时间，从来没有推出来过。然而在上了大一学习了微分方程之后我完成了它的推导，并且将它发给了邱老师。今天清理手机的短信息突然看到了这段推导，想了想为了造福大众还是把它给写下来比较好。问题主要可以描述为下图这样（图中包含了高中阶段对曲线的近似）。

下面推导v-t表达式：

a:加速度;f:摩擦力;P:功率;v:速度;t:时间;x:位移;

设函数 v=y=f(t)

则：a=y′=f′(t)

由：a=Pv−fm→amv=P−fv

于是得到方程： my′y=P−fy

以下步骤为微分方程求解:

mydydx+fy=P mydy+fydx=Pdx mydy=(P−fy)dx myP−fydy=dx (−mf+mPfP−fy)dy=dx −mfy+mPf∫(P−fy)dy=x −mfy−mPf2∫(P−fy)d(P−fy)=x −mfy−mPf2ln(P−fy)=x

即有关系式： C0−mfv−mPf2ln(P−fv)=t

由动能定理： 12mv2=Pt−fx

得到：x=Pt−12mv2f=−mPfv−mPf2ln(P−fy)−12mv2+mPf2ln(P)f

其中v为瞬时速度;C0=mPf2ln(P)（由v=0时x=0得到）